Родился в Москве в 1990 г. В 6 лет был принят в МССМШ имени Гнесиных (класс Т. Г. Шкловской). За время обучения в школе принял участие во многих международных и всероссийских конкурсах, в числе которых Международный конкурс Карла Черни в Праге, где он стал лауреатом II премии. В 2008 г. продолжил обучение в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского в классе С. Л. Доренского, занимался также под руководством его ассистентов — Н. Л. Луганского, П. Т. Нерсесьяна и А. А. Писарева. В студенческие годы завоевал звание лауреата Международного конкурса памяти Веры Лотар-Шевченко в Новосибирске (2‑я премия) и International piano and orchestra competition Citta di Cantu в Италии (1‑я премия). В 2014 г. стал победителем конкурса в Сан-Марино (1‑я премия, приз зрительских симпатий, приз критиков и приз оркестра), годом позже — лауреатом Международного конкурса пианистов в городе Хамамацу (Япония, 3‑я премия). А. Мельников также был удостоен высшей награды на II Манхэттенском международном музыкальном конкурсе (2017), после чего состоялся его сольный концерт в Карнеги-холле в Нью-Йорке.
Пианист выступал с оркестрами Белгородской и Томской филармоний, Камерным оркестром филармонии Великого
Новгорода, Камерным оркестром «Виртуозы Праги», филармоническим оркестром города Бакэу (Румыния), а также симфоническими оркестрами Республики Сан-Марино, Токио, оркестром МГК. Сольные концерты Алексея проходили в городах России, Германии, Италии, Франции, Японии, Польши, США, Испании, Бельгии, Вьетнама. Музыкант принимал участие в международных фестивалях в Черво (Италия), в Париже, Триесте (Италия), в Фестивале «Опера Эстэйт» в Бассано-дель-Граппа (Италия), выступал на Фестивале романтической музыки и на Фестивале Генриха Нейгауза в Москве, участвовал в марафоне С. С. Прокофьева в Мариинском театре и др.
В марте 2017 г. записал сольный альбом с сочинениями Бетховена и Листа в сотрудничестве со звукозаписывающей студией Acousece records в Германии.
В 2018 г. принял участие в Академии фестиваля Вербье, где получил приз фонда «Нева».
В 2019 г. удостоен бронзовой медали на XVI Международном конкурсе имени П. И. Чайковского.